La Continuité - Maths Terminale
Introduction
La continuité est un concept fondamental en mathématiques de Terminale, essentiel pour comprendre le comportement des fonctions. Ce chapitre explore la continuité en un point, sur un intervalle, et ses applications, comme les théorèmes des valeurs intermédiaires ou la dichotomie. Cet article détaille chaque notion avec des définitions, exemples simples, exercices corrigés, un quiz interactif, et une série d’exercices, conformément au programme français.
1. Continuité en un point
Définition
Une fonction \( f \) est continue en un point \( a \) si : \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \). Cela signifie que \( f(x) \) s’approche de \( f(a) \) quand \( x \) s’approche de \( a \), et \( f(a) \) est défini.
Exemple simple
Soit \( f(x) = x^2 \). En \( a = 2 \), \( \lim_{x \to 2} x^2 = 4 \), et \( f(2) = 2^2 = 4 \). Donc, \( f \) est continue en 2.
Exercice corrigé
Vérifier si \( f(x) = 2x + 1 \) est continue en \( x = 1 \).
- Solution : Calculons la limite et la valeur en 1.
- \( \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \).
- \( f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \).
- Puisque \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \), \( f \) est continue en 1.
- Réponse finale : Oui, continue en 1.
2. Continuité sur un intervalle
Définition
Une fonction \( f \) est continue sur un intervalle \( I \) si elle est continue en tout point de \( I \). Pour un intervalle fermé \( [a, b] \), cela inclut la continuité aux bornes (limites à droite et à gauche).
Exemple simple
La fonction \( f(x) = \sin x \) est continue sur \( \mathbb{R} \), donc sur \( [0, \pi] \), car le sinus est défini et lisse partout.
Exercice corrigé
Montrer que \( f(x) = x^3 \) est continue sur \( [-1, 1] \).
- Solution : Une fonction polynomiale est continue sur \( \mathbb{R} \).
- Pour tout \( a \in [-1, 1] \), \( \lim_{x \to a} x^3 = a^3 = f(a) \).
- Donc, \( f \) est continue sur \( [-1, 1] \).
- Réponse finale : Continue sur \( [-1, 1] \).
3. Opérations sur les fonctions continues
Propriétés
Si \( f \) et \( g \) sont continues en \( a \), alors \( f + g \), \( f - g \), \( f \cdot g \), et \( \frac{f}{g} \) (si \( g(a) \neq 0 \)) sont continues en \( a \). Les constantes et les polynômes sont continus sur \( \mathbb{R} \).
Exemple simple
Soit \( f(x) = x \), \( g(x) = x^2 \), continues en \( x = 1 \). Alors, \( h(x) = f(x) + g(x) = x + x^2 \) est continue en 1, car \( \lim_{x \to 1} (x + x^2) = 1 + 1 = 2 = h(1) \).
Exercice corrigé
Montrer que \( h(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) est continue en \( x = 0 \).
- Solution : \( f(x) = x \), \( g(x) = x^2 + 1 \) sont continues en 0.
- \( g(0) = 0^2 + 1 = 1 \neq 0 \), donc \( h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \) est continue en 0.
- Vérification : \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{0}{0^2 + 1} = 0 = h(0) \).
- Réponse finale : Continue en 0.
4. Continuité de la fonction composée
Propriétés
Si \( g \) est continue en \( a \) et \( f \) est continue en \( g(a) \), alors la composée \( f \circ g \), définie par \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \), est continue en \( a \).
Exemple simple
Soit \( g(x) = x^2 \), continue en 1, et \( f(y) = \sqrt{y} \), continue en \( g(1) = 1 \). Alors, \( f(g(x)) = \sqrt{x^2} = |x| \) est continue en 1.
Exercice corrigé
Montrer que \( h(x) = \sin(x^2) \) est continue en \( x = 0 \).
- Solution : \( g(x) = x^2 \), continue en 0 (\( g(0) = 0 \)).
- \( f(y) = \sin y \), continue en \( g(0) = 0 \).
- Donc, \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \) est continue en 0.
- Vérification : \( \lim_{x \to 0} \sin(x^2) = \sin(0) = 0 = h(0) \).
- Réponse finale : Continue en 0.
5. L’image d’un intervalle par une fonction continue
Propriétés
Si \( f \) est continue sur un intervalle \( I \), alors l’image \( f(I) \) est un intervalle. Sur un intervalle fermé \( [a, b] \), \( f(I) = [m, M] \), où \( m = \min f(x) \), \( M = \max f(x) \).
Exemple simple
Soit \( f(x) = x^2 \) sur \( [0, 2] \). \( f \) est continue, \( f(0) = 0 \), \( f(2) = 4 \). L’image est \( [0, 4] \).
Exercice corrigé
Déterminer l’image de \( f(x) = 2x - 1 \) sur \( [0, 1] \).
- Solution : \( f \) est continue (linéaire).
- \( f(0) = 2 \cdot 0 - 1 = -1 \), \( f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \).
- \( f \) est croissante, donc \( f([0, 1]) = [-1, 1] \).
- Réponse finale : \( [-1, 1] \).
6. Théorème des valeurs intermédiaires
Propriétés
Si \( f \) est continue sur \( [a, b] \), alors pour tout \( k \) entre \( f(a) \) et \( f(b) \), il existe \( c \in [a, b] \) tel que \( f(c) = k \). Cela garantit que \( f \) prend toutes les valeurs intermédiaires.
Exemple simple
Soit \( f(x) = x^2 \) sur \( [0, 2] \). \( f(0) = 0 \), \( f(2) = 4 \). Pour \( k = 1 \), \( f(x) = 1 \) donne \( x = 1 \in [0, 2] \).
Exercice corrigé
Montrer que \( f(x) = x^3 - x + 1 \) prend la valeur 0 sur \( [-2, 0] \).
- Solution : \( f \) est continue (polynomiale).
- \( f(-2) = (-2)^3 - (-2) + 1 = -8 + 2 + 1 = -5 < 0 \).
- \( f(0) = 0^3 - 0 + 1 = 1 > 0 \).
- Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \( c \in [-2, 0] \) tel que \( f(c) = 0 \).
- Réponse finale : Oui, \( f \) a une racine.
7. Méthode de dichotomie
Règle
Pour résoudre \( f(x) = 0 \) sur \( [a, b] \), si \( f \) est continue et \( f(a) \cdot f(b) < 0 \), on divise \( [a, b] \) en deux, teste le signe de \( f \) au milieu, et répète sur l’intervalle où \( f \) change de signe.
Exemple simple
Soit \( f(x) = x^2 - 2 \) sur \( [1, 2] \). \( f(1) = -1 \), \( f(2) = 2 \). Milieu : \( c = 1.5 \), \( f(1.5) = 1.5^2 - 2 = 0.25 > 0 \). Continuer sur \( [1, 1.5] \).
Exercice corrigé
Appliquer une étape de dichotomie pour \( f(x) = x^3 - x - 1 \) sur \( [1, 2] \).
- Solution : Vérifions : \( f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0 \), \( f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0 \).
- Milieu : \( c = \frac{1 + 2}{2} = 1.5 \).
- \( f(1.5) = 1.5^3 - 1.5 - 1 = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0 \).
- Nouvel intervalle : \( [1, 1.5] \), car \( f(1) \cdot f(1.5) < 0 \).
- Réponse finale : Intervalle \( [1, 1.5] \).
8. La fonction réciproque
Propriétés
Si \( f \) est continue et strictement monotone sur \( [a, b] \), elle admet une fonction réciproque \( f^{-1} \), continue sur \( f([a, b]) \). Si \( f \) est croissante, \( f^{-1} \) l’est aussi.
Exemple simple
Soit \( f(x) = x^3 \) sur \( \mathbb{R} \), continue et strictement croissante. Sa réciproque est \( f^{-1}(y) = y^{1/3} \), continue sur \( \mathbb{R} \).
Exercice corrigé
Montrer que \( f(x) = 2x + 1 \) sur \( [0, 1] \) a une réciproque continue.
- Solution : \( f'(x) = 2 > 0 \), donc \( f \) est strictement croissante.
- \( f \) est continue sur \( [0, 1] \).
- Image : \( f([0, 1]) = [f(0), f(1)] = [1, 3] \).
- Réciproque : \( y = 2x + 1 \), \( x = \frac{y - 1}{2} \), soit \( f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2} \), continue sur \( [1, 3] \).
- Réponse finale : \( f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2} \), continue.
Quiz sur la Continuité
Testez vos connaissances avec ce quiz interactif !
Exercices avec correction
Exercice 1 : Vérifier si \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) est continue en \( x = 1 \).
- Solution : Simplifions : \( f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \) pour \( x \neq 1 \).
- Mais \( f(1) \) est indéfini (\( \frac{0}{0} \)).
- Limite : \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \), mais \( f(1) \) n’existe pas.
- Donc, \( f \) n’est pas continue en 1.
- Réponse : Non, pas continue en 1.
Exercice 2 : Déterminer l’image de \( f(x) = \cos x \) sur \( [0, \pi] \).
- Solution : \( f \) est continue sur \( [0, \pi] \).
- \( \cos x \) est décroissante de 1 à -1 sur \( [0, \pi] \).
- \( f(0) = 1 \), \( f(\pi) = -1 \).
- L’image est \( [-1, 1] \).
- Réponse : \( [-1, 1] \).
Exercice 3 : Montrer que \( f(x) = x^2 - x - 2 \) a une racine sur \( [1, 3] \).
- Solution : \( f \) est continue.
- \( f(1) = 1 - 1 - 2 = -2 < 0 \), \( f(3) = 9 - 3 - 2 = 4 > 0 \).
- Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \( c \in [1, 3] \) tel que \( f(c) = 0 \).
- Réponse : Oui, une racine existe.
Exercice 4 : Appliquer deux étapes de dichotomie pour \( f(x) = x^2 - 3 \) sur \( [1, 2] \).
- Solution : \( f(1) = 1 - 3 = -2 < 0 \), \( f(2) = 4 - 3 = 1 > 0 \).
- Étape 1 : \( c = \frac{1 + 2}{2} = 1.5 \), \( f(1.5) = 1.5^2 - 3 = 2.25 - 3 = -0.75 < 0 \).
- Nouvel intervalle : \( [1.5, 2] \).
- Étape 2 : \( c = \frac{1.5 + 2}{2} = 1.75 \), \( f(1.75) = 1.75^2 - 3 = 3.0625 - 3 = 0.0625 > 0 \).
- Nouvel intervalle : \( [1.5, 1.75] \).
- Réponse : Intervalle \( [1.5, 1.75] \).
Exercice 5 : Trouver la réciproque de \( f(x) = \ln x \) sur \( ]0, +\infty[ \).
- Solution : \( f \) est continue et strictement croissante (\( f'(x) = \frac{1}{x} > 0 \)).
- Image : \( f(]0, +\infty[) = \mathbb{R} \).
- Réciproque : \( y = \ln x \), \( x = e^y \), soit \( f^{-1}(y) = e^y \).
- \( f^{-1} \) est continue sur \( \mathbb{R} \).
- Réponse : \( f^{-1}(y) = e^y \), continue.