Maîtrisez les Équations Différentielles - Maths 2 Bac

Introduction

Les équations différentielles sont un outil essentiel en mathématiques pour le programme de 2ème bac au Maroc. Elles modélisent des phénomènes dynamiques, comme la croissance ou les oscillations. Cet article présente les notions clés avec des définitions, exemples simples, exercices corrigés, un quiz interactif, et une série d’exercices pour approfondir.

1. Notion d’une équation différentielle

Définition

Une équation différentielle est une équation reliant une fonction $y(x)$, ses dérivées ($y^{\prime }$, $y^{″}$, etc.), et éventuellement $x$. On cherche $y(x)$ vérifiant l’équation. 

L’ordre est le rang de la dérivée la plus élevée.

Exemple simple

L’équation $y^{\prime }=2y$ est une équation différentielle d’ordre 1. 

Une solution est $y=e^{2x}$, car $y^{\prime }=2e^{2x}=2y$.

Exercice corrigé

Vérifier si $y=3e^x$ est solution de $y^{\prime }=y$.

• Solution : Calculons $y^{\prime }$.
• $y=3e^x$, donc $y^{\prime }=3e^x$.
• Vérifions : $y^{\prime }=3e^x$, $y=3e^x$. Égalité vérifiée.
• Réponse finale : Oui, $y=3e^x$ est solution.

2. Équation différentielle $y^{\prime }=ay$

Propriétés

L’équation $y^{\prime }=ay$ (ordre 1, linéaire) a pour solution générale $y=k{e}^{ax}$, où $k\in \mathbb{R}$. Si $a>0$, la solution croît exponentiellement ; si $a<0$, elle décroît.

Exemple simple

Pour $y^{\prime }=3y$, la solution générale est $y=k{e}^{3x}$. 

Vérification : si $y=k{e}^{3x}$, alors $y^{\prime }=3k{e}^{3x}=3y$.

Exercice corrigé

Résoudre $y^{\prime }=-2y$, avec $y(0)=1$.

• Solution : La solution générale est $y=k{e}^{-2x}$.
• Condition initiale : $y(0)=k{e}^0=k=1$.
• Donc, $y=e^{-2x}$.
• Vérification : $y^{\prime }=-2e^{-2x}$, $-2y=-2e^{-2x}$. Vérifié.
• Réponse finale : $y=e^{-2x}$.

3. Équation différentielle $y^{\prime }=ay+b$

Règle

L’équation $y^{\prime }=ay+b$ (ordre 1, linéaire avec second membre) a pour solution générale :

• Si $a\ne 0$, $y=k{e}^{ax}-\frac{b}{a}$.
• Si $a=0$, $y=bx+k$.

La constante $k$ est déterminée par une condition initiale.

Exemple simple

Pour $y^{\prime }=-y+1$, la solution générale est $y=k{e}^{-x}+1$. 

Vérification : $y^{\prime }=-k{e}^{-x}$, $-y+1=-(k{e}^{-x}+1)+1=-k{e}^{-x}$.

Exercice corrigé

Résoudre $y^{\prime }=2y-4$, avec $y(0)=0$.

• Solution : Solution générale : $y=k{e}^{2x}-\frac{-4}{2}=k{e}^{2x}+2$.
• Condition : $y(0)=k{e}^0+2=k+2=0$, donc $k=-2$.
• $y=-2e^{2x}+2$.
• Vérification : $y^{\prime }=-4e^{2x}$, $2y-4=2(-2e^{2x}+2)-4=-4e^{2x}$. Vérifié.
• Réponse finale : $y=-2e^{2x}+2$.

4. Équation différentielle $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$

Règle

Cette équation (ordre 2, linéaire homogène) se résout via l’équation caractéristique $r^2+ar+b=0$. Solutions selon le discriminant $\mathrm{\Delta }=a^2-4b$:

• $\mathrm{\Delta }>0$: Deux racines réelles $r_1,r_2$, solution $y=k_1{e}^{r_{1}x}+k_2{e}^{r_{2}x}$.
• $\mathrm{\Delta }=0$: Racine double $r=-\frac{a}{2}$, solution $y=(k_1+k_{2}x)e^{rx}$.
• $\mathrm{\Delta }<0$: Racines complexes $r=\alpha \pm i\beta$, solution $y=e^{\alpha x}(k_1\cos (\beta x)+k_2\sin (\beta x))$.

Exemple simple

Pour $y^{″}-y=0$, équation caractéristique : $r^2-1=0$, racines $r=\pm 1$. 

Solution : $y=k_1{e}^x+k_2{e}^{-x}$.

Exercice corrigé

Résoudre $y^{″}+2y^{\prime }+y=0$, avec $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=0$.

• Solution : Équation caractéristique : $r^2+2r+1=(r+1{)}^2=0$.
• Racine double : $r=-1$.
• Solution générale : $y=(k_1+k_{2}x)e^{-x}$.
• Dérivée : $y^{\prime }=k_2{e}^{-x}-(k_1+k_{2}x)e^{-x}$.
• Conditions : $y(0)=k_1=1$, $y^{\prime }(0)=k_2-k_1=k_2-1=0$, donc $k_2=1$.
• $y=(1+x)e^{-x}$.
• Vérification : $y^{\prime }=e^{-x}-(1+x)e^{-x}$, $y^{″}=-e^{-x}-e^{-x}+(1+x)e^{-x}$. Substituons : $y^{″}+2y^{\prime }+y=0$. Vérifié.
• Réponse finale : $y=(1+x)e^{-x}$.

5. Quiz sur les Équations Différentielles

Testez vos connaissances avec ce quiz interactif !

Question 1 : Définition

Quel est l’ordre de l’équation $y^{″}=y^{\prime }+y$?

a) 1
b) 2
c) 3

Question 2 : $y^{\prime }=ay$

Quelle est la solution générale de $y^{\prime }=2y$?

a) $y=k{e}^{2x}$
b) $y=k{e}^{-2x}$
c) $y=k{x}^2$

Question 3 : $y^{\prime }=ay+b$

Quelle est la solution générale de $y^{\prime }=-y+1$?

a) $y=k{e}^x+1$
b) $y=k{e}^{-x}+1$
c) $y=kx+1$

Question 4 : $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$

Pour $y^{″}+y=0$, quelle est la solution générale ?

a) $y=k_1{e}^x+k_2{e}^{-x}$
b) $y=k_1\cos x+k_2\sin x$
c) $y=(k_1+k_{2}x)e^x$

6. Série d’exercices 

Exercice 1 : Résoudre $y^{\prime }=4y$.

• Solution : Solution générale : $y=k{e}^{4x}$.
• Vérification : $y^{\prime }=4k{e}^{4x}=4y$.
• Réponse : $y=k{e}^{4x}$.

Exercice 2 : Résoudre $y^{\prime }=-y-2$, avec $y(0)=0$.

• Solution : Solution générale : $y=k{e}^{-x}-\frac{-2}{-1}=k{e}^{-x}-2$.
• Condition : $y(0)=k{e}^0-2=k-2=0$, donc $k=2$.
• $y=2e^{-x}-2$.
• Vérification : $y^{\prime }=-2e^{-x}$, $-y-2=-(2e^{-x}-2)-2=-2e^{-x}$.
• Réponse : $y=2e^{-x}-2$.

Exercice 3 : Résoudre $y^{″}-4y=0$.

• Solution : Équation caractéristique : $r^2-4=0$, racines $r=\pm 2$.
• Solution générale : $y=k_1{e}^{2x}+k_2{e}^{-2x}$.
• Vérification : $y^{\prime }=2k_1{e}^{2x}-2k_2{e}^{-2x}$, $y^{″}=4k_1{e}^{2x}+4k_2{e}^{-2x}$.
• $y^{″}-4y=4(k_1{e}^{2x}+k_2{e}^{-2x})-4(k_1{e}^{2x}+k_2{e}^{-2x})=0$.
• Réponse : $y=k_1{e}^{2x}+k_2{e}^{-2x}$.

Exercice 4 : Résoudre $y^{″}+4y=0$, avec $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=0$.

• Solution : Équation caractéristique : $r^2+4=0$, racines $r=\pm 2i$.
• Solution générale : $y=k_1\cos (2x)+k_2\sin (2x)$.
• Dérivée : $y^{\prime }=-2k_1\sin (2x)+2k_2\cos (2x)$.
• Conditions : $y(0)=k_1=1$, $y^{\prime }(0)=2k_2=0$, donc $k_2=0$.
• $y=\cos (2x)$.
• Vérification : $y^{″}=-4\cos (2x)$, $y^{″}+4y=-4\cos (2x)+4\cos (2x)=0$.
• Réponse : $y=\cos (2x)$.