Maîtrisez le Calcul Intégral - Maths 2ème Bac Maroc
Introduction
Le calcul intégral est un pilier du programme de mathématiques de 2ème bac au Maroc. Il permet de calculer des aires, des volumes, ou de résoudre des problèmes dynamiques. Cet article détaille les notions clés avec des définitions, exemples simples, exercices corrigés, un quiz interactif, et une série d’exercices pour approfondir.
1. Définition et propriétés
Définition et propriétés
Définition : L’intégrale définie de \( f(x) \) sur \([a, b]\), notée \( \int_a^b f(x) \, dx \), représente l’aire sous la courbe de \( f \) de \( a \) à \( b \) (si \( f(x) \geq 0 \)).
L’intégrale indéfinie \( \int f(x) \, dx \) est l’ensemble des primitives de \( f \).
Propriétés :
- Linéarité : \( \int (k f(x) + m g(x)) \, dx = k \int f(x) \, dx + m \int g(x) \, dx \).
- Additivité : \( \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx \).
- Changement de bornes : \( \int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx \).
- Théorème fondamental : Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors \( \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \).
Exemple simple
Calculer \( \int_1^2 x \, dx \).
Primitive : \( \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \). Alors, \( \int_1^2 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \).
Exercice corrigé
Calculer \( \int_0^1 (2x + 1) \, dx \).
- Solution : Primitive : \( \int (2x + 1) \, dx = \int 2x \, dx + \int 1 \, dx = x^2 + x + C \).
- Évaluation : \( \left[ x^2 + x \right]_0^1 = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2 - 0 = 2 \).
- Réponse finale : 2.
2. L’intégrale et l’ordre
Propriétés
Propriétés liées à l’ordre :
- Si \( f(x) \geq 0 \) sur \([a, b]\), alors \( \int_a^b f(x) \, dx \geq 0 \).
- Si \( f(x) \leq g(x) \) sur \([a, b]\), alors \( \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx \).
- Si \( m \leq f(x) \leq M \) sur \([a, b]\), alors \( m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b-a) \).
Exemple simple
Pour \( f(x) = x^2 \) sur \([0, 1]\), \( f(x) \geq 0 \), donc \( \int_0^1 x^2 \, dx \geq 0 \).
Calcul : \( \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} > 0 \).
Exercice corrigé
Montrer que \( \int_0^2 (x - 1) \, dx \leq \int_0^2 x \, dx \).
- Solution : Comparons \( f(x) = x - 1 \) et \( g(x) = x \).
- \( x - 1 \leq x \) pour tout \( x \), donc \( \int_0^2 (x - 1) \, dx \leq \int_0^2 x \, dx \).
- Calculons : \( \int_0^2 (x - 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_0^2 = (2 - 2) - 0 = 0 \).
- \( \int_0^2 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 2 - 0 = 2 \).
- Vérification : \( 0 \leq 2 \). Inégalité confirmée.
- Réponse finale : Inégalité vérifiée.
3. La valeur moyenne
Définition
Définition : La valeur moyenne de \( f(x) \) sur \([a, b]\) est \( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \).
Elle représente la hauteur moyenne de \( f \) sur l’intervalle.
Exemple simple
Valeur moyenne de \( f(x) = x \) sur \([0, 1]\) : \( \frac{1}{1-0} \int_0^1 x \, dx = \int_0^1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \).
Exercice corrigé
Calculer la valeur moyenne de \( f(x) = x^2 \) sur \([0, 2]\).
- Solution : Valeur moyenne : \( \frac{1}{2-0} \int_0^2 x^2 \, dx \).
- Calcul : \( \int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \).
- Valeur moyenne : \( \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \).
- Réponse finale : \( \frac{4}{3} \).
4. L’intégration par parties
Règle
Règle : Pour \( \int u(x) v'(x) \, dx \), l’intégration par parties donne : \( \int u v' \, dx = u v - \int v u' \, dx \).
On choisit \( u \) facile à dériver et \( v' \) facile à intégrer.
Exemple simple
Calculer \( \int x e^x \, dx \).
Posons \( u = x \), \( v' = e^x \). Alors, \( u' = 1 \), \( v = e^x \).
\( \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \cdot 1 \, dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C \).
Exercice corrigé
Calculer \( \int x \cos x \, dx \).
- Solution : Posons \( u = x \), \( v' = \cos x \).
- Alors, \( u' = 1 \), \( v = \sin x \).
- \( \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \cdot 1 \, dx \).
- \( = x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C \).
- Vérification : Dérivons \( x \sin x + \cos x \). Produit : \( (x \sin x)' = \sin x + x \cos x \), \( (\cos x)' = -\sin x \). Total : \( x \cos x \).
- Réponse finale : \( x \sin x + \cos x + C \).
5. Calcul des Aires et Volumes
Quiz sur le Calcul Intégral
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Série d’exercices
Exercice 1 : Calculer \( \int_1^3 (x^2 - 1) \, dx \).
- Solution : Primitive : \( \int (x^2 - 1) \, dx = \int x^2 \, dx - \int 1 \, dx = \frac{x^3}{3} - x + C \).
- Évaluation : \( \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^3 = \left( \frac{27}{3} - 3 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = (9 - 3) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = 6 - \left( -\frac{2}{3} \right) = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3} \).
- Réponse : \( \frac{20}{3} \).
Exercice 2 : Montrer que \( \int_0^1 x \, dx \leq \int_0^1 x^2 \, dx \).
- Solution : Sur \([0, 1]\), \( x \geq x^2 \) car \( x - x^2 = x(1 - x) \geq 0 \).
- Calculons : \( \int_0^1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \).
- \( \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \).
- Comparaison : \( \frac{1}{2} > \frac{1}{3} \), donc l’inégalité est fausse. Corrigée : \( x^2 \leq x \), donc \( \int_0^1 x^2 \, dx \leq \int_0^1 x \, dx \), vérifié par \( \frac{1}{3} \leq \frac{1}{2} \).
- Réponse : \( \int_0^1 x^2 \, dx \leq \int_0^1 x \, dx \).
Exercice 3 : Calculer la valeur moyenne de \( f(x) = 1 - x \) sur \([0, 1]\).
- Solution : Valeur moyenne : \( \frac{1}{1-0} \int_0^1 (1 - x) \, dx \).
- Primitive : \( \int (1 - x) \, dx = x - \frac{x^2}{2} + C \).
- \( \int_0^1 (1 - x) \, dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) - 0 = \frac{1}{2} \).
- Valeur moyenne : \( \frac{1}{2} \).
- Réponse : \( \frac{1}{2} \).
Exercice 4 : Calculer \( \int x \ln x \, dx \).
- Solution : Intégration par parties. Posons \( u = \ln x \), \( v' = x \).
- Alors, \( u' = \frac{1}{x} \), \( v = \frac{x^2}{2} \).
- \( \int x \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \).
- \( = \frac{x^2 \ln x}{2} - \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C \).
- Vérification : Dérivons : \( \left( \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} \right)' = \frac{2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}}{2} - \frac{2x}{4} = x \ln x + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x \ln x \).
- Réponse : \( \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C \).