Primitives et Équations Différentielles - Terminale Spécialité Maths France

Introduction

Les primitives et équations différentielles sont des notions clés du programme de Terminale Spécialité Mathématiques en France. Elles permettent de modéliser des phénomènes dynamiques et de résoudre des problèmes d’intégration. Cet article explore ces concepts avec des définitions, exemples, exercices corrigés, et un quiz interactif. Pour approfondir, consultez les ressources de Maths et Tiques et l’article Primitives et Équations Différentielles.

1. Primitive d’une fonction

Définition et propriétés

Définition : Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F^{\prime }(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$. L’ensemble des primitives est $\{F(x)+C\mid C\in \mathbb{R}\}$.
Propriétés :

• Théorème fondamental : Si $F$ est une primitive de $f$, alors ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
• Linéarité : $\int (kf(x)+mg(x))dx=k\int f(x)dx+m\int g(x)dx$.
• Primitives usuelles : $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ($n\ne -1$), $\int \cos xdx=\sin x+C$, $\int e^{x}dx=e^x+C$.

Pour plus de détails, voir nos cours sur le Bac France.

Exemple simple

Trouver une primitive de $f(x)=2x+\cos x$.
- $\int 2xdx=x^2+C_1$, $\int \cos xdx=\sin x+C_2$.
- Par linéarité : $\int (2x+\cos x)dx=x^2+\sin x+C$.

Exercice corrigé

Trouver une primitive de $f(x)=3x^2+e^x$ et vérifier par dérivation.

• Solution : Calculons la primitive.
• $\int 3x^{2}dx=3\int x^{2}dx=3\cdot \frac{x^3}{3}=x^3+C_1$.
• $\int e^{x}dx=e^x+C_2$.
• $\int (3x^2+e^x)dx=x^3+e^x+C$.
• Vérification : $(x^3+e^x+C{)}^{\prime }=3x^2+e^x=f(x)$.
• Réponse finale : $F(x)=x^3+e^x+C$.

2. Équations différentielles

Définition et règles

Définition : Une équation différentielle est une équation reliant une fonction $y(x)$, ses dérivées, et éventuellement $x$. On cherche $y(x)$ vérifiant l’équation. L’ordre est le rang de la dérivée la plus élevée.
Règles :

• Équation $y^{\prime }=ay$ : Solution générale $y=k{e}^{ax}$, $k\in \mathbb{R}$.
• Équation $y^{\prime }=ay+b$ : Si $a\ne 0$, solution $y=k{e}^{ax}-\frac{b}{a}$.
• Équation $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$ : Résolution via l’équation caractéristique $r^2+ar+b=0$.
  • $\mathrm{\Delta }=a^2-4b>0$: $y=k_1{e}^{r_{1}x}+k_2{e}^{r_{2}x}$.
  • $\mathrm{\Delta }=0$: $y=(k_1+k_{2}x)e^{rx}$, $r=-\frac{a}{2}$.
  • $\mathrm{\Delta }<0$: $y=e^{\alpha x}(k_1\cos (\beta x)+k_2\sin (\beta x))$.

Pour des exemples avancés, consultez cet article.

Exemple simple

Résoudre $y^{\prime }=-2y$.
Solution générale : $y=k{e}^{-2x}$. Vérification : $y^{\prime }=-2k{e}^{-2x}=-2y$.

Exercice corrigé

Résoudre $y^{\prime }=y+1$, avec $y(0)=0$.

• Solution : Forme $y^{\prime }=ay+b$, avec $a=1$, $b=1$.
• Solution générale : $y=k{e}^x-\frac{1}{1}=k{e}^x-1$.
• Condition initiale : $y(0)=k{e}^0-1=k-1=0$, donc $k=1$.
• $y=e^x-1$.
• Vérification : $y^{\prime }=e^x$, $y+1=(e^x-1)+1=e^x$. Vérifié.
• Réponse finale : $y=e^x-1$.

3. Quiz sur les Primitives et Équations Différentielles

Testez vos connaissances avec ce quiz interactif ! Pour réviser, voir nos ressources ou Maths et Tiques.

Question 1 : Primitive

Quelle est une primitive de $f(x)=\sin x$?

a) $\cos x+C$
b) $-\cos x+C$
c) $-\sin x+C$

Question 2 : Primitive

Calculer ${\int }_0^1(x+1)dx$.

a) $\frac{1}{2}$
b) $\frac{3}{2}$
c) 2

Question 3 : Équation différentielle

Quelle est la solution générale de $y^{\prime }=3y$?

a) $y=k{e}^{3x}$
b) $y=k{e}^{-3x}$
c) $y=k{x}^3$

Question 4 : Équation différentielle

Pour $y^{″}+4y=0$, quelle est la solution générale ?

a) $y=k_1{e}^{2x}+k_2{e}^{-2x}$
b) $y=k_1\cos (2x)+k_2\sin (2x)$
c) $y=(k_1+k_{2}x)e^{2x}$

4. Série d’exercices

Exercice 1 : Trouver une primitive de $f(x)=x^3+\sin x$.

• Solution : $\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4}+C_1$, $\int \sin xdx=-\cos x+C_2$.
• $\int (x^3+\sin x)dx=\frac{x^4}{4}-\cos x+C$.
• Vérification : ${(\frac{x^4}{4}-\cos x)}^{\prime }=x^3+\sin x$.
• Réponse : $\frac{x^4}{4}-\cos x+C$.

Exercice 2 : Calculer ${\int }_1^2(2x-1)dx$.

• Solution : Primitive : $\int (2x-1)dx=\int 2xdx-\int 1dx=x^2-x+C$.
• Évaluation : ${[x^2-x]}_1^2=(4-2)-(1-1)=2-0=2$.
• Réponse : 2.

Exercice 3 : Résoudre $y^{\prime }=-y+2$, avec $y(0)=1$.

• Solution : Forme $y^{\prime }=ay+b$, $a=-1$, $b=2$.
• Solution générale : $y=k{e}^{-x}-\frac{2}{-1}=k{e}^{-x}+2$.
• Condition : $y(0)=k{e}^0+2=k+2=1$, donc $k=-1$.
• $y=-e^{-x}+2$.
• Vérification : $y^{\prime }=e^{-x}$, $-y+2=-(-e^{-x}+2)+2=e^{-x}$. Vérifié.
• Réponse : $y=-e^{-x}+2$.

Exercice 4 : Résoudre $y^{″}-2y^{\prime }+y=0$, avec $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=0$.

• Solution : Équation caractéristique : $r^2-2r+1=(r-1{)}^2=0$.
• Racine double : $r=1$.
• Solution générale : $y=(k_1+k_{2}x)e^x$.
• Dérivée : $y^{\prime }=k_2{e}^x+(k_1+k_{2}x)e^x=(k_1+k_2+k_{2}x)e^x$.
• Conditions : $y(0)=k_1{e}^0=k_1=1$.
• $y^{\prime }(0)=(k_1+k_2)e^0=1+k_2=0$, donc $k_2=-1$.
• $y=(1-x)e^x$.
• Vérification : $y^{\prime }=-e^x+(1-x)e^x=(1-x-1)e^x=-x{e}^x$.
  $y^{″}=-e^x-x{e}^x=-(x+1)e^x$.
  $y^{″}-2y^{\prime }+y=-(x+1)e^x-2(-x{e}^x)+(1-x)e^x=(-x-1+2x+1-x)e^x=0$.
• Réponse : $y=(1-x)e^x$.