Les Fonctions Trigonométriques - Terminale Spécialité Maths France

Introduction 

Les fonctions trigonométriques sont au cœur du programme de Terminale Spécialité Mathématiques en France. Elles interviennent dans l’analyse, la géométrie, et la modélisation de phénomènes périodiques. Cet article explore le cosinus, le sinus, le cercle trigonométrique, leurs propriétés et variations, avec des exemples, des exercices corrigés, et un quiz interactif pour maîtriser ces notions.

1. Cosinus, sinus et cercle trigonométrique

Définition

Définition : Dans le cercle trigonométrique (rayon 1, centré à l’origine), pour un angle \( x \) en radians, le point \( M \) associé a pour coordonnées \( (\cos x, \sin x) \). Ainsi :

• \( \cos x \) est l’abscisse de \( M \).
• \( \sin x \) est l’ordonnée de \( M \).
• Identité fondamentale : \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \).

Valeurs usuelles : \( \cos 0 = 1 \), \( \sin 0 = 0 \), \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \), \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \), \( \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), etc.

Exemple simple

Calculer \( \cos \frac{\pi}{6} \) et \( \sin \frac{\pi}{6} \).
L’angle \( \frac{\pi}{6} \) (30°) correspond à \( M\left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right) \). Donc, \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).

Exercice corrigé

Calculer \( \cos \frac{2\pi}{3} \) et \( \sin \frac{2\pi}{3} \), et vérifier \( \cos^2 \frac{2\pi}{3} + \sin^2 \frac{2\pi}{3} = 1 \).

• Solution : Angle \( \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} \).
• \( \cos\left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} \).
• \( \sin\left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• Vérification : \( \cos^2 \frac{2\pi}{3} + \sin^2 \frac{2\pi}{3} = \left( -\frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \).
• Réponse finale : \( \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \), \( \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), identité vérifiée.

2. Propriétés des fonctions cosinus et sinus

Propriétés

Propriétés :

• Périodicité : \( \cos(x + 2k\pi) = \cos x \), \( \sin(x + 2k\pi) = \sin x \), \( k \in \mathbb{Z} \). Période : \( 2\pi \).
• Parité : \( \cos(-x) = \cos x \) (paire), \( \sin(-x) = -\sin x \) (impaire).
• Bornes : \( -1 \leq \cos x \leq 1 \), \( -1 \leq \sin x \leq 1 \).
• Formules d’addition :
  • \( \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \).
  • \( \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \).
• Relations : \( \cos\left( x + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin x \), \( \sin\left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos x \).

Exemple simple

Simplifier \( \sin\left( x + \frac{\pi}{2} \right) \) et \( \cos\left( -\frac{\pi}{4} \right) \).
- \( \sin\left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos x \).
- \( \cos\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) (paire).

Exercice corrigé

Exprimer \( \cos\left( x + \frac{\pi}{3} \right) \) en fonction de \( \cos x \) et \( \sin x \), et vérifier \( \sin\left( x + \pi \right) = -\sin x \).

• Solution : Formule d’addition : \( \cos\left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \cos x \cos \frac{\pi}{3} - \sin x \sin \frac{\pi}{3} \).
• \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \), \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• \( \cos\left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \cos x \cdot \frac{1}{2} - \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\cos x - \sqrt{3} \sin x}{2} \).
• Vérification : \( \sin\left( x + \pi \right) = \sin x \cos \pi + \cos x \sin \pi = \sin x \cdot (-1) + \cos x \cdot 0 = -\sin x \).
• Réponse finale : \( \cos\left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\cos x - \sqrt{3} \sin x}{2} \), identité vérifiée.

3. Variations des fonctions cosinus et sinus

Règle

Règle : Les fonctions \( \cos x \) et \( \sin x \) sont dérivables infiniment, avec :

• \( (\cos x)' = -\sin x \), \( (\sin x)' = \cos x \).
• Tableau de variations sur \([0, 2\pi]\) :
  • \( \cos x \) :
    • Croît sur \([\pi, 2\pi]\), décroît sur \([0, \pi]\).
    • Maximum : 1 à \( x = 0, 2\pi \). Minimum : -1 à \( x = \pi \).
  • \( \sin x \) :
    • Croît sur \([0, \frac{\pi}{2}]\), décroît sur \([\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\), croît sur \([\frac{3\pi}{2}, 2\pi]\).
    • Maximum : 1 à \( x = \frac{\pi}{2} \). Minimum : -1 à \( x = \frac{3\pi}{2} \).

Les variations permettent d’étudier des fonctions comme \( a \cos(bx + c) \) ou de résoudre des équations trigonométriques.

Exemple simple

Étudier les variations de \( f(x) = \cos x \) sur \([0, \frac{\pi}{2}]\).
- Dérivée : \( f'(x) = -\sin x \).
- Sur \([0, \frac{\pi}{2}]\), \( \sin x \geq 0 \), donc \( f'(x) \leq 0 \). \( f \) est décroissante.
- Extrema : \( f(0) = 1 \) (maximum), \( f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \).

Exercice corrigé

Étudier les variations de \( f(x) = \sin x \) sur \([0, \pi]\) et déterminer ses extrema.

• Solution : Dérivée : \( f'(x) = \cos x \).
• Signes : \( \cos x \geq 0 \) sur \([0, \frac{\pi}{2}]\), \( \cos x \leq 0 \) sur \([\frac{\pi}{2}, \pi]\).
• Variations : \( f \) croît sur \([0, \frac{\pi}{2}]\), décroît sur \([\frac{\pi}{2}, \pi]\).
• Extrema : \( f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \) (maximum), \( f(0) = 0 \), \( f(\pi) = 0 \).
• Réponse finale : Croît sur \([0, \frac{\pi}{2}]\), décroît sur \([\frac{\pi}{2}, \pi]\), maximum 1 à \( x = \frac{\pi}{2} \).

4. Quiz sur les Fonctions Trigonométriques

Testez vos connaissances avec ce quiz interactif adapté au programme de Terminale Spécialité !

Question 1 : Cercle trigonométrique

Quelle est la valeur de \( \cos \frac{3\pi}{4} \)?

a) \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
b) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
c) 0

Question 2 : Propriétés

Que vaut \( \sin\left( x + \frac{\pi}{2} \right) \)?

a) \( -\cos x \)
b) \( \cos x \)
c) \( -\sin x \)

Question 3 : Variations

Sur quel intervalle de \([0, 2\pi]\) la fonction \( \cos x \) est-elle croissante ?

a) \([0, \pi]\)
b) \([\pi, 2\pi]\)
c) \([0, \frac{\pi}{2}]\)

Question 4 : Identité

Quelle est la valeur de \( \cos\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) \)?

a) 0
b) 1
c) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

5. Série d’exercices

Exercice 1 : Calculer \( \cos \frac{7\pi}{6} \) et \( \sin \frac{7\pi}{6} \).

• Solution : Angle \( \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6} \).
• \( \cos\left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
• \( \sin\left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} \).
• Réponse : \( \cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2} \).

Exercice 2 : Simplifier \( \cos\left( x - \frac{\pi}{2} \right) \).

• Solution : \( \cos\left( x - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left( x + \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) = \cos x \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) - \sin x \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \).
• \( \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) = 0 \), \( \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1 \).
• \( \cos\left( x - \frac{\pi}{2} \right) = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot (-1) = \sin x \).
• Réponse : \( \sin x \).

Exercice 3 : Étudier les variations de \( f(x) = \cos x \) sur \([\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\).

• Solution : Dérivée : \( f'(x) = -\sin x \).
• Signes : \( \sin x \geq 0 \) sur \([\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\), donc \( f'(x) \leq 0 \). \( f \) décroît.
• Extrema : \( f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \), \( f\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \).
• Minimum : \( f(\pi) = -1 \).
• Réponse : Décroissante sur \([\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\), minimum -1 à \( x = \pi \).

Exercice 4 : Résoudre l’équation \( \sin x = \frac{1}{2} \) sur \([0, 2\pi]\).

• Solution : On cherche \( x \) tel que \( \sin x = \sin \frac{\pi}{6} \).
• Solutions : \( x = \frac{\pi}{6} \) ou \( x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \).
• Vérification : \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \), \( \sin \frac{5\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
• Réponse : \( x = \frac{\pi}{6} \), \( x = \frac{5\pi}{6} \).