La Fonction Logarithme Népérien - Terminale Spécialité France

Introduction

La fonction logarithme népérien, notée \( \ln x \), est essentielle en Terminale Spécialité pour analyser les croissances, résoudre des équations, et étudier des fonctions. Cet article couvre sa définition, ses propriétés, son étude, et ses limites, avec des exemples, exercices corrigés, un quiz interactif à 5 questions, et une série d’exercices, conformément au programme français.

1. Définition et domaine de définition

Définition

La fonction logarithme népérien \( \ln x \) est la fonction réciproque de l’exponentielle \( e^x \). Elle est définie par : \( y = \ln x \) si et seulement si \( x = e^y \). Le domaine de définition est \( ]0, +\infty[ \), car \( e^y > 0 \) pour tout \( y \in \mathbb{R} \). La fonction est définie uniquement pour \( x > 0 \).

Exemples simples

• Pour \( f(x) = \ln x \), domaine : \( ]0, +\infty[ \).
• Pour \( g(x) = \ln(x^2) \), \( x^2 > 0 \), donc \( x \neq 0 \). Domaine : \( \mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[ \).
• Pour \( h(x) = \ln(x - 1) \), \( x - 1 > 0 \), donc \( x > 1 \). Domaine : \( ]1, +\infty[ \).

Exercice corrigé

Déterminer le domaine de définition de \( f(x) = \ln(2x + 1) \).

• Solution : La fonction \( \ln u \) est définie pour \( u > 0 \).
• Ici, \( u = 2x + 1 \). Résolvons : \( 2x + 1 > 0 \).
• \( 2x > -1 \), donc \( x > -\frac{1}{2} \).
• Domaine : \( ]-\frac{1}{2}, +\infty[ \).
• Réponse finale : \( ]-\frac{1}{2}, +\infty[ \).

2. Propriétés de la fonction logarithme népérien

Propriétés

Propriétés algébriques de \( \ln x \) :

• \( \ln(ab) = \ln a + \ln b \), pour \( a, b > 0 \).
• \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \), pour \( a, b > 0 \).
• \( \ln(a^n) = n \ln a \), pour \( a > 0 \).
• \( \ln 1 = 0 \), \( \ln e = 1 \).

La fonction est strictement croissante, continue, et dérivable sur \( ]0, +\infty[ \), avec \( \ln'(x) = \frac{1}{x} \).

Application : Résolution d’équations et inéquations

Exemple simple (équation) : Résoudre \( \ln x = 2 \).
\( \ln x = 2 \implies x = e^2 \). Vérification : \( x = e^2 > 0 \), et \( \ln(e^2) = 2 \). Solution : \( x = e^2 \).
Exemple simple (inéquation) : Résoudre \( \ln x > 0 \).
\( \ln x > 0 \implies x > e^0 = 1 \). Solution : \( ]1, +\infty[ \).

Exercice corrigé

Résoudre l’équation \( \ln(2x) = \ln x + 1 \).

• Solution : Domaine : \( 2x > 0 \), \( x > 0 \), donc \( x > 0 \).
• Utilisons la propriété : \( \ln(2x) = \ln 2 + \ln x \).
• L’équation devient : \( \ln 2 + \ln x = \ln x + 1 \).
• Simplifions : \( \ln 2 = 1 \).
• Donc, \( e^{\ln 2} = e^1 \implies 2 = e \). Erreur, vérifions.
• Reprenons : \( \ln(2x) = \ln x + \ln e \). Puisque \( \ln e = 1 \), l’équation est correcte.
• Alternative : Exponentions : \( 2x = x \cdot e \).
• \( 2x = e x \implies 2x - e x = 0 \implies x(2 - e) = 0 \).
• Comme \( 2 - e \neq 0 \), \( x = 0 \). Mais \( x = 0 \) n’est pas dans le domaine.
• Vérifions autrement : \( \ln(2x) - \ln x = 1 \implies \ln\left(\frac{2x}{x}\right) = 1 \implies \ln 2 = 1 \), impossible (\( \ln 2 \approx 0.693 \)).
• Conclusion : Pas de solution réelle.
• Réponse finale : Aucune solution.

3. Étude de la fonction logarithme népérien

Méthode

Pour étudier \( \ln x \) ou une fonction composée :

• Domaine : \( x > 0 \) pour \( \ln x \).
• Dérivée : \( \ln'(x) = \frac{1}{x} \). Pour \( f(x) = \ln(g(x)) \), \( f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} \).
• Variations : Signe de \( f'(x) \).
• Limites : Comportement aux bornes du domaine.

Exemple simple

Étudier \( f(x) = \ln x \) sur \( ]0, +\infty[ \).
- Domaine : \( ]0, +\infty[ \).
- Dérivée : \( f'(x) = \frac{1}{x} > 0 \). \( f \) est strictement croissante.
- Limites : \( \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \), \( \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \).
- Tableau : \( f \) croît de \( -\infty \) à \( +\infty \), sans extremum.

Exercice corrigé

Étudier \( f(x) = \ln(1 + x) \) sur \( ]-1, +\infty[ \).

• Solution :
• Domaine : \( 1 + x > 0 \implies x > -1 \). Domaine : \( ]-1, +\infty[ \).
• Dérivée : \( f(x) = \ln(g(x)) \), \( g(x) = 1 + x \).
• \( g'(x) = 1 \), \( f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{1}{1 + x} \).
• Signe : Pour \( x > -1 \), \( 1 + x > 0 \), \( f'(x) > 0 \). \( f \) est strictement croissante.
• Limites : \( \lim_{x \to -1^+} \ln(1 + x) = \ln 0^+ = -\infty \).
  \( \lim_{x \to +\infty} \ln(1 + x) = \ln(+\infty) = +\infty \).
• Tableau : \( f \) croît de \( -\infty \) à \( +\infty \).
• Pas d’extremum (\( f'(x) \neq 0 \)).
• Réponse finale : Croissante sur \( ]-1, +\infty[ \), de \( -\infty \) à \( +\infty \), sans extremum.

4. Limites et croissances comparées

Propriétés

Limites :

• \( \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \).
• \( \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \).

Croissances comparées : Le logarithme croît plus lentement que toute puissance \( x^a \) (\( a > 0 \)) : \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0 \). Il croît plus vite que les constantes : \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{k} = +\infty \).

Exemple simple

Calculer \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} \).
Forme \( \frac{\infty}{\infty} \). Appliquons l’Hôpital : \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \).

Exercice corrigé

Calculer \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} \).

• Solution : Forme \( \frac{\infty}{\infty} \).
• Appliquons l’Hôpital : \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2x^2} = 0 \).
• Réponse finale : 0.

Quiz sur la Fonction Logarithme Népérien

Testez vos connaissances avec ce quiz interactif !

Question 1 : Domaine de définition

Quel est le domaine de \( f(x) = \ln(x + 2) \)?

a) \( ]-2, +\infty[ \)
b) \( ]0, +\infty[ \)
c) \( \mathbb{R} \)

Question 2 : Résolution d’équation

Résoudre \( \ln x = 0 \). Quelle est la solution ?

a) \( x = 0 \)
b) \( x = 1 \)
c) \( x = e \)

Question 3 : Étude de la fonction

La fonction \( f(x) = \ln x \) est-elle croissante sur \( ]0, +\infty[ \)?

a) Oui
b) Non
c) Indéterminé

Question 4 : Limites

Quelle est \( \lim_{x \to 0^+} \ln x \)?

a) \( 0 \)
b) \( -\infty \)
c) \( +\infty \)

Question 5 : Croissances comparées

Quelle est \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \)?

a) \( 0 \)
b) \( 1 \)
c) \( +\infty \)

Exercices avec correction

Exercice 1 : Déterminer le domaine de \( f(x) = \ln(x^2 - 1) \).

• Solution : \( x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x < -1 \) ou \( x > 1 \).
• Domaine : \( ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[ \).
• Réponse : \( ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[ \).

Exercice 2 : Résoudre l’inéquation \( \ln(x + 1) \leq 0 \).

• Solution : Domaine : \( x + 1 > 0 \implies x > -1 \).
• \( \ln(x + 1) \leq 0 \implies x + 1 \leq e^0 = 1 \implies x + 1 \leq 1 \implies x \leq 0 \).
• Intersection avec le domaine : \( x \in ]-1, 0] \).
• Réponse : \( ]-1, 0] \).

Exercice 3 : Étudier \( f(x) = \ln(2 - x) \) sur son domaine.

• Solution :
• Domaine : \( 2 - x > 0 \implies x < 2 \). Domaine : \( ]-\infty, 2[ \).
• Dérivée : \( g(x) = 2 - x \), \( g'(x) = -1 \), \( f'(x) = \frac{-1}{2 - x} = -\frac{1}{2 - x} \).
• Signe : Pour \( x < 2 \), \( 2 - x > 0 \), \( f'(x) < 0 \). \( f \) est strictement décroissante.
• Limites : \( \lim_{x \to 2^-} \ln(2 - x) = \ln 0^+ = -\infty \).
  \( \lim_{x \to -\infty} \ln(2 - x) = \ln(+\infty) = +\infty \).
• Tableau : \( f \) décroît de \( +\infty \) à \( -\infty \).
• Réponse : Décroissante sur \( ]-\infty, 2[ \), de \( +\infty \) à \( -\infty \), sans extremum.

Exercice 4 : Calculer \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^3} \).

• Solution : Forme \( \frac{\infty}{\infty} \).
• L’Hôpital : \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{3x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3x^3} = 0 \).
• Réponse : 0.

Exercice 5 : Résoudre \( \ln(x^2) = 2 \).

• Solution : Domaine : \( x^2 > 0 \implies x \neq 0 \).
• \( \ln(x^2) = 2 \implies x^2 = e^2 \implies x = \pm e \).
• Vérification : \( x = e \), \( \ln(e^2) = 2 \). \( x = -e \), \( \ln((-e)^2) = \ln(e^2) = 2 \).
• Réponse : \( x = \pm e \).