Dénombrement et Probabilités - Maths 2 Bac Résumé de cours et exercices corrigés

Maîtrisez le Dénombrement et les Probabilités - Maths 2 Bac 

Introduction

Le dénombrement et les probabilités forment un chapitre clé du programme de mathématiques de 2ème bac au Maroc. Ils permettent de compter des possibilités et d’analyser des phénomènes aléatoires. Cet article détaille chaque notion avec des définitions, exemples simples, exercices corrigés, un quiz interactif à 5 questions, et une série d’exercices pour approfondir.

1. Cardinal d’ensembles

Définition

Le cardinal d’un ensemble \( E \), noté \( \text{Card}(E) \), est le nombre d’éléments de \( E \). Pour deux ensembles \( A \) et \( B \), \( \text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B) - \text{Card}(A \cap B) \).

Exemple simple

Soit \( A = \{1, 2, 3\} \), \( B = \{2, 3, 4\} \). Alors, \( \text{Card}(A) = 3 \), \( \text{Card}(B) = 3 \), \( A \cap B = \{2, 3\} \), \( \text{Card}(A \cap B) = 2 \). Donc, \( \text{Card}(A \cup B) = 3 + 3 - 2 = 4 \).

Exercice corrigé

Soit \( A = \{a, b, c, d\} \), \( B = \{b, d, e\} \). Calculer \( \text{Card}(A \cup B) \).

• Solution : \( \text{Card}(A) = 4 \), \( \text{Card}(B) = 3 \).
• \( A \cap B = \{b, d\} \), \( \text{Card}(A \cap B) = 2 \).
• \( \text{Card}(A \cup B) = 4 + 3 - 2 = 5 \).
• Réponse finale : 5.

2. Nombre d’arrangements

Définition

Un arrangement de \( k \) éléments parmi \( n \) est une sélection ordonnée. Le nombre d’arrangements est \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \).

Exemple simple

Nombre d’arrangements de 2 lettres parmi \{A, B, C\} : \( A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{6}{1} = 6 \). Exemples : AB, BA, AC, CA, BC, CB.

Exercice corrigé

Calculer le nombre d’arrangements de 3 chiffres parmi \{1, 2, 3, 4\}.

• Solution : \( A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{24}{1} = 24 \).
• Réponse finale : 24.

3. Nombre de permutations

Définition

Une permutation de \( n \) éléments est un arrangement de tous les éléments. Le nombre de permutations est \( P_n = n! \).

Exemple simple

Nombre de permutations de \{A, B, C\} : \( P_3 = 3! = 6 \). Exemples : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Exercice corrigé

Calculer le nombre de permutations de 4 couleurs.

• Solution : \( P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \).
• Réponse finale : 24.

4. Nombre de combinaisons

Définition

Une combinaison de \( k \) éléments parmi \( n \) est une sélection non ordonnée. Le nombre de combinaisons est \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Exemple simple

Nombre de combinaisons de 2 lettres parmi \{A, B, C\} : \( C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3 \). Exemples : AB, AC, BC.

Exercice corrigé

Calculer le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 5.

• Solution : \( C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10 \).
• Réponse finale : 10.

5. Expérience aléatoire - Vocabulaire

Définition

Une expérience aléatoire est un processus dont le résultat est incertain. Vocabulaire :

• Univers (\( \Omega \)) : Ensemble des résultats possibles.
• Événement : Sous-ensemble de \( \Omega \).
• Événement élémentaire : Résultat unique.
• Événement impossible : \( \emptyset \). Certain : \( \Omega \).

Exemple simple

Lancer un dé. \( \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Événement \( A = \{2, 4, 6\} \) : « obtenir un nombre pair ».

Exercice corrigé

Définir \( \Omega \) et un événement pour tirer une carte d’un jeu de 32 cartes.

• Solution : \( \Omega = \{ \text{toutes les cartes} \} \), \( \text{Card}(\Omega) = 32 \).
• Événement \( A = \{ \text{cartes de cœur} \} \), avec 8 cartes de cœur.
• Réponse finale : \( \Omega = \{ \text{32 cartes} \} \), \( A = \{ \text{cœurs} \} \).

6. Principe fondamental de dénombrement - Arbre

Règle

Principe fondamental : Si une expérience a \( k \) étapes, avec \( n_i \) choix à l’étape \( i \), le nombre total de résultats est \( n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k \). Un arbre représente les possibilités.

Exemple simple

Composer un menu (entrée : 2 choix, plat : 3 choix). Nombre de menus : \( 2 \cdot 3 = 6 \).

Exercice corrigé

Combien de codes à 3 chiffres (0 à 9) peut-on former ?

• Solution : Chaque chiffre a 10 choix. Total : \( 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 \)

• Réponse finale : 1000.

7. Calcul de probabilité

Définition

Dans un univers équiprobable, la probabilité d’un événement \( A \) est \( P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} \).

Exemple simple

Lancer un dé. Probabilité d’obtenir 6 : \( \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), \( A = \{6\} \), \( P(A) = \frac{1}{6} \).

Exercice corrigé

Dans un sac de 5 billes (3 rouges, 2 bleues), calculer la probabilité de tirer une rouge.

• Solution : \( \text{Card}(\Omega) = 5 \), \( \text{Card}(A) = 3 \).
• \( P(A) = \frac{3}{5} \).
• Réponse finale : \( \frac{3}{5} \).

8. Intersection et réunion d’événements

Propriétés

Propriétés :

• Réunion : \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \).
• Intersection : Si \( A \) et \( B \) indépendants, \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \).
• Événements contraires : \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \).

Exemple simple

Lancer un dé. \( A = \{ \text{pair} \} \), \( B = \{ \leq 3 \} \). \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \), \( P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \), \( A \cap B = \{2\} \), \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \). Alors, \( P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \).

Exercice corrigé

Lancer un dé. Soit \( A = \{ \text{multiple de 2} \} \), \( B = \{ \text{multiple de 3} \} \). Calculer \( P(A \cup B) \).

• Solution : \( A = \{2, 4, 6\} \), \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
• \( B = \{3, 6\} \), \( P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
• \( A \cap B = \{6\} \), \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \).
• \( P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
• Réponse finale : \( \frac{2}{3} \).

9. Probabilité conditionnelle

Définition

La probabilité de \( A \) sachant \( B \), notée \( P_B(A) \), est \( P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \), si \( P(B) \neq 0 \). \( A \) et \( B \) sont indépendants si \( P_B(A) = P(A) \).

Exemple simple

Lancer un dé. \( A = \{ \text{pair} \} \), \( B = \{ \leq 4 \} \). \( A \cap B = \{2, 4\} \), \( P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \), \( P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \). Alors, \( P_B(A) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \).

Exercice corrigé

Dans un sac de 6 billes (4 rouges, 2 bleues), calculer la probabilité de tirer une rouge sachant qu’elle est rouge ou bleue.

• Solution : \( B = \{ \text{rouge ou bleue} \} = \Omega \), \( P(B) = 1 \).
• \( A = \{ \text{rouge} \} \), \( A \cap B = A \), \( P(A \cap B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
• \( P_B(A) = \frac{\frac{2}{3}}{1} = \frac{2}{3} \).
• Réponse finale : \( \frac{2}{3} \).

10. Épreuves répétées

Règle

Pour \( n \) épreuves indépendantes, si un événement \( A \) a probabilité \( p \), la probabilité d’obtenir \( A \) exactement \( k \) fois suit la loi binomiale : \( P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \).

Exemple simple

Lancer une pièce 3 fois (\( p = \frac{1}{2} \)). Probabilité de 2 piles : \( P(X = 2) = C_3^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \).

Exercice corrigé

Lancer un dé 4 fois. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux 6.

• Solution : \( p = \frac{1}{6} \), \( 1-p = \frac{5}{6} \), \( n = 4 \), \( k = 2 \).
• \( P(X = 2) = C_4^2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^2 \).
• \( C_4^2 = \frac{4!}{2!2!} = 6 \).
• \( P(X = 2) = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = 6 \cdot \frac{25}{1296} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216} \).
• Réponse finale : \( \frac{25}{216} \).

11. Variables aléatoires

Définition

Une variable aléatoire \( X \) associe un nombre à chaque résultat d’une expérience. Sa loi est donnée par les probabilités \( P(X = x_i) \).

Exemple simple

Lancer un dé. \( X = \text{nombre obtenu} \). Loi : \( P(X = k) = \frac{1}{6} \), pour \( k = 1, 2, \ldots, 6 \).

Exercice corrigé

Définir la loi de \( X \), le nombre de piles en 2 lancers d’une pièce.

• Solution : \( \Omega = \{PP, PF, FP, FF\} \).
• \( X = 0 \): FF, \( P(X = 0) = \frac{1}{4} \).
• \( X = 1 \): PF, FP, \( P(X = 1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
• \( X = 2 \): PP, \( P(X = 2) = \frac{1}{4} \).
• Réponse finale : \( P(X = 0) = \frac{1}{4} \), \( P(X = 1) = \frac{1}{2} \), \( P(X = 2) = \frac{1}{4} \).

12. Espérance, variance et écart type

Définition

Pour une variable aléatoire \( X \) :

• Espérance : \( E(X) = \sum x_i P(X = x_i) \).
• Variance : \( V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 P(X = x_i) = E(X^2) - [E(X)]^2 \).
• Écart type : \( \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \).

Exemple simple

Lancer un dé. \( X = \text{nombre} \). \( E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 \).

Exercice corrigé

Pour \( X \), nombre de piles en 2 lancers d’une pièce, calculer \( E(X) \), \( V(X) \), \( \sigma(X) \).

• Solution : Loi (exercice 11) : \( P(X = 0) = \frac{1}{4} \), \( P(X = 1) = \frac{1}{2} \), \( P(X = 2) = \frac{1}{4} \).
• \( E(X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = 1 \).
• \( E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{4} + 1^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \).
• \( V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{3}{2} - 1^2 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \).
• \( \sigma(X) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Réponse finale : \( E(X) = 1 \), \( V(X) = \frac{1}{2} \), \( \sigma(X) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Quiz sur le Dénombrement et les Probabilités

Testez vos connaissances avec ce quiz interactif !

Question 1 : Arrangements

Combien y a-t-il d’arrangements de 2 lettres parmi \{A, B, C, D\} ?

a) 6
b) 12
c) 24

Question 2 : Probabilité

Dans un sac de 4 billes (2 rouges, 2 bleues), quelle est la probabilité de tirer une rouge ?

a) \( \frac{1}{4} \)
b) \( \frac{1}{2} \)
c) \( \frac{3}{4} \)

Question 3 : Probabilité conditionnelle

Lancer un dé. Soit \( A = \{ \text{pair} \} \), \( B = \{ \leq 3 \} \). Calculer \( P_B(A) \).

a) \( \frac{1}{3} \)
b) \( \frac{1}{2} \)
c) \( \frac{2}{3} \)

Question 4 : Épreuves répétées

Lancer une pièce 2 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 1 pile ?

a) \( \frac{1}{4} \)
b) \( \frac{1}{2} \)
c) \( \frac{3}{4} \)

Question 5 : Espérance

Pour un dé, quelle est l’espérance de \( X = \text{nombre obtenu} \)?

a) 3
b) 3.5
c) 4

Série d’exercices

Exercice 1 : Calculer le nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 4.

• Solution : \( C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6 \).
• Réponse : 6.

Exercice 2 : Une urne contient 6 billes (4 blanches, 2 noires). Calculer la probabilité de tirer une noire.

• Solution : \( \text{Card}(\Omega) = 6 \), \( \text{Card}(A) = 2 \).
• \( P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
• Réponse : \( \frac{1}{3} \).

Exercice 3 : Lancer un dé. Soit \( A = \{ \text{impair} \} \), \( B = \{ \geq 4 \} \). Calculer \( P(A \cap B) \).

• Solution : \( A = \{1, 3, 5\} \), \( B = \{4, 5, 6\} \).
• \( A \cap B = \{5\} \), \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \).
• Réponse : \( \frac{1}{6} \).

Exercice 4 : Lancer une pièce 3 fois. Calculer la probabilité d’obtenir au moins 2 piles.

• Solution : \( p = \frac{1}{2} \), \( n = 3 \).
• Au moins 2 piles : \( X = 2 \) ou \( X = 3 \).
• \( P(X = 2) = C_3^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \).
• \( P(X = 3) = C_3^3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \).
• \( P(X \geq 2) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).
• Réponse : \( \frac{1}{2} \).

Exercice 5 : Une variable \( X \) prend les valeurs 1, 2, 3 avec \( P(X = 1) = \frac{1}{2} \), \( P(X = 2) = \frac{1}{3} \), \( P(X = 3) = \frac{1}{6} \). Calculer \( E(X) \).

• Solution : \( E(X) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{6} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \).
• Réponse : \( \frac{5}{3} \).