La Dérivation - Terminale Spécialité 

Introduction

La dérivation est un outil fondamental en mathématiques de Terminale Spécialité, utilisé pour analyser les variations des fonctions et résoudre des problèmes d’optimisation. Ce chapitre revisite les bases de la dérivation, explore la dérivation des fonctions composées, et leur étude. Cet article détaille chaque notion avec des définitions, exemples simples, exercices corrigés, un quiz interactif à 5 questions, et une série d’exercices, conformément au programme français.

1. Rappels sur la dérivation

Définition et propriétés

La dérivée d’une fonction \( f \) en un point \( a \), notée \( f'(a) \), est la limite : \( f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \), si elle existe. La fonction dérivée \( f' \) donne le taux de variation de \( f \). Règles de dérivation :

• \( (u + v)' = u' + v' \), \( (k u)' = k u' \).
• \( (u \cdot v)' = u' v + u v' \).
• \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2} \), si \( v \neq 0 \).
• Dérivées usuelles : \( (x^n)' = n x^{n-1} \), \( (\sin x)' = \cos x \), \( (\cos x)' = -\sin x \), \( (e^x)' = e^x \), \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \).

Exemple simple

Soit \( f(x) = x^3 + 2x \). Calculons \( f'(x) \).
\( f'(x) = (x^3)' + (2x)' = 3x^2 + 2 \).

Exercice corrigé

Calculer la dérivée de \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \).

• Solution : Simplifions : \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x} = x + x^{-1} \).
• Dérivons : \( f'(x) = (x)' + (x^{-1})' = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2} \).
• Alternativement, règle du quotient : \( u(x) = x^2 + 1 \), \( v(x) = x \), \( u'(x) = 2x \), \( v'(x) = 1 \).
• \( f'(x) = \frac{u' v - u v'}{v^2} = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = 1 - \frac{1}{x^2} \).
• Réponse finale : \( f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \).

2. Dérivée d’une fonction composée

Règle

Pour une fonction composée \( f(x) = h(g(x)) \), la dérivée est donnée par la règle de la chaîne : \( f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \). Si \( u = g(x) \), alors \( \frac{df}{dx} = \frac{dh}{du} \cdot \frac{du}{dx} \).

Exemple simple

Soit \( f(x) = \sin(x^2) \). Calculons \( f'(x) \).
\( h(u) = \sin u \), \( g(x) = x^2 \). Alors, \( h'(u) = \cos u \), \( g'(x) = 2x \).
\( f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2) \).

Exercice corrigé

Calculer la dérivée de \( f(x) = e^{3x} \).

• Solution : \( h(u) = e^u \), \( g(x) = 3x \).
• \( h'(u) = e^u \), \( g'(x) = 3 \).
• \( f'(x) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x} \).
• Réponse finale : \( f'(x) = 3e^{3x} \).

3. Étude d’une fonction composée

Méthode

L’étude d’une fonction composée \( f(x) = h(g(x)) \) implique :

• Domaine : Déterminer où \( g(x) \) est dans le domaine de \( h \).
• Dérivée : Calculer \( f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \).
• Variations : Étudier le signe de \( f'(x) \) pour dresser le tableau de variation.
• Extremums : Résoudre \( f'(x) = 0 \) ou indéfinie pour trouver les points critiques.

Exemple simple

Étudier \( f(x) = e^{2x} \) sur \( \mathbb{R} \).
- Domaine : \( \mathbb{R} \), car \( 2x \) est défini partout, et \( e^u \) est définie pour tout \( u \).
- Dérivée : \( f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x} \).
- Signe : \( e^{2x} > 0 \), donc \( f'(x) > 0 \). \( f \) est strictement croissante.
- Tableau : \( f \) passe de \( e^{2 \cdot (-\infty)} = 0^+ \) à \( e^{2 \cdot (+\infty)} = +\infty \).
- Pas d’extremum (\( f'(x) \neq 0 \)).

Exercice corrigé

Étudier la fonction \( f(x) = \ln(x^2) \) sur \( ]0, +\infty[ \).

• Solution :
• Domaine : \( x^2 > 0 \), donc \( x \neq 0 \). Sur \( ]0, +\infty[ \), \( x^2 > 0 \), et \( \ln u \) est défini pour \( u > 0 \). Domaine : \( ]0, +\infty[ \).
• Dérivée : \( h(u) = \ln u \), \( g(x) = x^2 \). \( h'(u) = \frac{1}{u} \), \( g'(x) = 2x \).
• \( f'(x) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x} \).
• Signe : Sur \( ]0, +\infty[ \), \( x > 0 \), donc \( f'(x) > 0 \). \( f \) est strictement croissante.
• Tableau : Quand \( x \to 0^+ \), \( x^2 \to 0^+ \), \( \ln(x^2) \to \ln 0^+ = -\infty \). Quand \( x \to +\infty \), \( \ln(x^2) \to +\infty \).
• Extremum : \( f'(x) \neq 0 \), donc pas d’extremum.
• Réponse finale : Croissante sur \( ]0, +\infty[ \), de \( -\infty \) à \( +\infty \), sans extremum.

Quiz sur la Dérivation

Testez vos connaissances avec ce quiz interactif !

Question 1 : Rappels sur la dérivation

Quelle est la dérivée de \( f(x) = x^4 - 2x^2 \)?

a) \( 4x^3 - 4x \)
b) \( 4x^3 - 2x \)
c) \( 3x^3 - 4x \)

Question 2 : Dérivée composée

Quelle est la dérivée de \( f(x) = \cos(x^2) \)?

a) \( -\sin(x^2) \)
b) \( -2x \sin(x^2) \)
c) \( 2x \cos(x^2) \)

Question 3 : Étude d’une fonction

La fonction \( f(x) = e^{-x} \) sur \( \mathbb{R} \) est-elle croissante ?

a) Oui
b) Non
c) Indéterminé

Question 4 : Dérivée composée

Quelle est la dérivée de \( f(x) = \ln(2x) \) pour \( x > 0 \)?

a) \( \frac{1}{x} \)
b) \( \frac{2}{x} \)
c) \( \frac{1}{2x} \)

Question 5 : Étude d’une fonction

La fonction \( f(x) = \sin(2x) \) a-t-elle un extremum en \( x = \frac{\pi}{4} \)?

a) Oui
b) Non
c) Indéterminé

Exercices avec correction

Exercice 1 : Calculer la dérivée de \( f(x) = x \sin x \).

• Solution : Règle du produit : \( u(x) = x \), \( v(x) = \sin x \).
• \( u'(x) = 1 \), \( v'(x) = \cos x \).
• \( f'(x) = u' v + u v' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x \).
• Réponse : \( f'(x) = \sin x + x \cos x \).

Exercice 2 : Calculer la dérivée de \( f(x) = e^{x^2} \).

• Solution : \( h(u) = e^u \), \( g(x) = x^2 \).
• \( h'(u) = e^u \), \( g'(x) = 2x \).
• \( f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} \).
• Réponse : \( f'(x) = 2x e^{x^2} \).

Exercice 3 : Étudier la fonction \( f(x) = \cos(x^2) \) sur \( [0, \sqrt{\pi}] \).

• Solution :
• Domaine : \( x^2 \in [0, \pi] \), \( \cos u \) défini pour tout \( u \). Domaine : \( [0, \sqrt{\pi}] \).
• Dérivée : \( h(u) = \cos u \), \( g(x) = x^2 \). \( h'(u) = -\sin u \), \( g'(x) = 2x \).
• \( f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x \sin(x^2) \).
• Signe : Étudions \( f'(x) = -2x \sin(x^2) \). Sur \( [0, \sqrt{\pi}] \), \( x \geq 0 \). Testons \( \sin(x^2) \).
• \( x^2 \in [0, \pi] \), \( \sin(x^2) \geq 0 \). À \( x = 0 \), \( \sin(0) = 0 \), sinon \( \sin(x^2) > 0 \).
• \( f'(x) = 0 \) si \( x = 0 \) ou \( \sin(x^2) = 0 \), i.e., \( x^2 = k\pi \). Sur \( [0, \pi] \), \( x^2 = \pi \) donne \( x = \sqrt{\pi} \).
• Signe de \( f' \): \( x = 0 \) (\( f' = 0 \)), \( x \in ]0, \sqrt{\pi}[ \) (\( -2x \sin(x^2) < 0 \)), \( x = \sqrt{\pi} \) (\( f' = 0 \)).
• Tableau : \( f \) est constante à \( x = 0 \), décroît jusqu’à \( x = \sqrt{\pi} \). \( f(0) = \cos 0 = 1 \), \( f(\sqrt{\pi}) = \cos \pi = -1 \).
• Extremums : Maximum en \( x = 0 \) (\( f(0) = 1 \)), minimum en \( x = \sqrt{\pi} \) (\( f(\sqrt{\pi}) = -1 \)).
• Réponse : Décroissante sur \( [0, \sqrt{\pi}] \), max 1 en 0, min -1 en \( \sqrt{\pi} \).

Exercice 4 : Calculer la dérivée de \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \) pour \( x > 0 \).

• Solution : Règle du quotient : \( u(x) = \ln x \), \( v(x) = x \).
• \( u'(x) = \frac{1}{x} \), \( v'(x) = 1 \).
• \( f'(x) = \frac{u' v - u v'}{v^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \).
• Réponse : \( f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} \).

Exercice 5 : Étudier la fonction \( f(x) = x e^{-x} \) sur \( [0, +\infty[ \).

• Solution :
• Domaine : \( -x \leq 0 \), \( e^{-x} \) défini. Domaine : \( [0, +\infty[ \).
• Dérivée : Règle du produit : \( u(x) = x \), \( v(x) = e^{-x} \).
• \( u'(x) = 1 \), \( v'(x) = -e^{-x} \).
• \( f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x) \).
• Signe : \( e^{-x} > 0 \). Étudions \( 1 - x \). \( f'(x) = 0 \) si \( 1 - x = 0 \), i.e., \( x = 1 \).
• Pour \( x < 1 \), \( 1 - x > 0 \), \( f' > 0 \). Pour \( x > 1 \), \( 1 - x < 0 \), \( f' < 0 \).
• Tableau : \( f \) croît sur \( [0, 1] \), décroît sur \( [1, +\infty[ \). \( f(0) = 0 \), \( f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \), \( f(x) \to 0 \) quand \( x \to +\infty \).
• Extremum : Maximum en \( x = 1 \), \( f(1) = \frac{1}{e} \).
• Réponse : Croissante sur \( [0, 1] \), décroissante sur \( [1, +\infty[ \), max \( \frac{1}{e} \) en 1.