Limites des Fonctions - Terminale Spécialité
Introduction
Les limites des fonctions sont un pilier du programme de mathématiques de Terminale Spécialité. Elles permettent d’analyser le comportement des fonctions près d’un point ou à l’infini. Cet article détaille chaque notion avec des définitions, exemples simples, exercices corrigés, un quiz interactif à 5 questions, et une série d’exercices, conformément au programme français.
1. Limite d’une fonction à l’infini
Définition
La limite de \( f(x) \) quand \( x \to +\infty \) (ou \( -\infty \)) est \( l \) si, pour tout \( x \) suffisamment grand (ou petit), \( f(x) \) est arbitrairement proche de \( l \). Notation : \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = l \). La limite peut être \( \pm \infty \).
Exemple simple
Soit \( f(x) = \frac{1}{x} \). Quand \( x \to +\infty \), \( \frac{1}{x} \to 0 \). Donc, \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \).
Exercice corrigé
Calculer \( \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{x} \).
- Solution : Simplifions : \( \frac{2x + 1}{x} = 2 + \frac{1}{x} \).
- Quand \( x \to +\infty \), \( \frac{1}{x} \to 0 \).
- Donc, \( \lim_{x \to +\infty} (2 + \frac{1}{x}) = 2 + 0 = 2 \).
- Réponse finale : 2.
2. Limite d’une fonction en un réel \( a \)
Définition
La limite de \( f(x) \) quand \( x \to a \) est \( l \) si, quand \( x \) s’approche de \( a \) (sans nécessairement l’atteindre), \( f(x) \to l \). Notation : \( \lim_{x \to a} f(x) = l \). La limite peut être \( \pm \infty \). On peut préciser \( x \to a^+ \) (par la droite) ou \( x \to a^- \) (par la gauche).
Exemple simple
Soit \( f(x) = x^2 \). \( \lim_{x \to 2} x^2 = 2^2 = 4 \).
Exercice corrigé
Calculer \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \).
- Solution : Factorisons : \( \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \) pour \( x \neq 1 \).
- \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \).
- Réponse finale : 2.
3. Opérations sur les limites
Propriétés
Si \( \lim_{x \to a} f(x) = l \) et \( \lim_{x \to a} g(x) = m \), alors :
- \( \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = l + m \).
- \( \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = l \cdot m \).
- \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{l}{m} \) si \( m \neq 0 \).
Exemple simple
Soit \( f(x) = x \), \( g(x) = 2 \). \( \lim_{x \to 1} f(x) = 1 \), \( \lim_{x \to 1} g(x) = 2 \). Alors, \( \lim_{x \to 1} (f(x) + g(x)) = 1 + 2 = 3 \).
Exercice corrigé
Calculer \( \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + x}{x^2} \).
- Solution : Simplifions : \( \frac{3x^2 + x}{x^2} = 3 + \frac{1}{x} \).
- \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \).
- \( \lim_{x \to +\infty} (3 + \frac{1}{x}) = 3 + 0 = 3 \).
- Réponse finale : 3.
4. Limite d’une fonction composée
Propriétés
Si \( \lim_{x \to a} g(x) = b \) et \( \lim_{y \to b} f(y) = l \), alors \( \lim_{x \to a} f(g(x)) = l \), à condition que \( g(x) \neq b \) près de \( a \) ou que \( f \) soit continue en \( b \).
Exemple simple
Soit \( g(x) = x^2 \), \( f(y) = \sqrt{y} \). \( \lim_{x \to 2} g(x) = 4 \), \( \lim_{y \to 4} \sqrt{y} = 2 \). Donc, \( \lim_{x \to 2} \sqrt{x^2} = 2 \).
Exercice corrigé
Calculer \( \lim_{x \to 0} \sin(x^2) \).
- Solution : \( g(x) = x^2 \), \( f(y) = \sin y \).
- \( \lim_{x \to 0} g(x) = 0 \), \( \lim_{y \to 0} \sin y = 0 \).
- Donc, \( \lim_{x \to 0} \sin(x^2) = 0 \).
- Réponse finale : 0.
5. Limites et comparaisons
Propriétés
Théorème des gendarmes : Si \( g(x) \leq f(x) \leq h(x) \) près de \( a \) et \( \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = l \), alors \( \lim_{x \to a} f(x) = l \). Utile pour les formes indéterminées.
Exemple simple
Soit \( f(x) = x \sin x \). Pour \( x \to 0 \), \( -|x| \leq x \sin x \leq |x| \). Comme \( \lim_{x \to 0} \pm |x| = 0 \), \( \lim_{x \to 0} x \sin x = 0 \).
Exercice corrigé
Calculer \( \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) \).
- Solution : \( -1 \leq \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 \).
- Donc, \( -x^2 \leq x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2 \).
- \( \lim_{x \to 0} \pm x^2 = 0 \). Par le théorème des gendarmes, \( \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \).
- Réponse finale : 0.
6. Cas de la fonction exponentielle
Propriétés
La fonction \( e^x \) est continue sur \( \mathbb{R} \). Limites clés :
- \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \).
- \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \).
- \( \lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1 \).
Exemple simple
\( \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = e^{\lim_{x \to +\infty} (-x)} = e^{-\infty} = 0 \).
Exercice corrigé
Calculer \( \lim_{x \to 0} e^{2x} \).
- Solution : \( \lim_{x \to 0} e^{2x} = e^{\lim_{x \to 0} 2x} = e^{2 \cdot 0} = e^0 = 1 \).
- Réponse finale : 1.
Quiz sur les Limites des Fonctions
Testez vos connaissances avec ce quiz interactif !
Exercices avec correction
Exercice 1 : Calculer \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 1} \).
- Solution : Simplifions : \( \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 1} = \frac{x^2(1 + \frac{2}{x})}{x^2(1 - \frac{1}{x^2})} = \frac{1 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}} \).
- \( \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x} = 0 \), \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0 \).
- \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1 \).
- Réponse : 1.
Exercice 2 : Calculer \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \).
- Solution : Forme indéterminée \( \frac{0}{0} \).
- Propriété : \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).
- Réponse : 1.
Exercice 3 : Calculer \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} \).
- Solution : Forme \( \frac{\infty}{\infty} \). L’exponentielle croît plus vite que tout polynôme.
- Intuitivement, \( \frac{e^x}{x^2} \to +\infty \).
- Rigoureusement, utiliser l’Hôpital (si nécessaire) : après deux applications, \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2} = +\infty \).
- Réponse : \( +\infty \).
Exercice 4 : Calculer \( \lim_{x \to 0} e^{\sin x} \).
- Solution : \( \lim_{x \to 0} \sin x = 0 \).
- \( \lim_{x \to 0} e^{\sin x} = e^{\lim_{x \to 0} \sin x} = e^0 = 1 \).
- Réponse : 1.
Exercice 5 : Calculer \( \lim_{x \to 0} x \ln x \).
- Solution : Forme \( 0 \cdot (-\infty) \). Réécrivons : \( x \ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \).
- Forme \( \frac{-\infty}{\infty} \). Appliquons l’Hôpital : \( \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \).
- Réponse : 0.